Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Selesaikan persamaan kuadratik

• A. Apakah persamaan kuadratik?
• B. Selesaikan persamaan kuadratik
• C. Selesaikan persamaan kuadratik secara mental
• D. Menggunakan Formula Viet-et
  • Teorem Vieta
  • Teorem converse Viet-et
• E. Contoh penyelesaian persamaan kuadratik
• F. Pemfaktoran
• G. Menyelesaikan persamaan kuadratik yang mengandungi parameter

A. Apakah persamaan kuadratik?

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk (a≠0) (1).

Dengan x ialah pembolehubah yang tidak diketahui dan kerana hanya terdapat 1 yang tidak diketahui ia juga dipanggil persamaan 'pembolehubah tunggal'. Nombor a, b, dan c ialah nombor yang diketahui, dipanggil pekali persamaan; boleh dibezakan dengan memanggilnya masing-masing: pekali kuadratik, pekali tertib pertama, dan pekali bebas atau malar.

Persamaan kuadratik ialah sejenis persamaan polinomial, ia hanya mengandungi kuasa x yang merupakan nombor asli.

Menyelesaikan persamaan kuadratik ialah mencari nilai x supaya apabila x digantikan ke dalam persamaan (1), ax2+bx+c=0 berpuas hati. Terdapat empat cara biasa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik: pemfaktoran; kaedah punca kuasa dua; gunakan formula akar; graf.

B. Selesaikan persamaan kuadratik

Langkah 1: Kira Δ=b2-4ac

Langkah 2: Bandingkan Δ dengan 0

• Δ < 0=""> Persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian
• Δ = 0 => persamaan (1) mempunyai penyelesaian berganda
• Δ > 0 => persamaan (1) mempunyai 2 penyelesaian yang berbeza, kami menggunakan formula penyelesaian berikut :

dan

C. Selesaikan persamaan kuadratik secara mental

• Jika persamaan mempunyai a + b + c = 0 maka persamaan itu mempunyai penyelesaian.
• Jika persamaan mempunyai a - b + c = 0 maka persamaan mempunyai penyelesaian:

D. Menggunakan Formula Viet-et

Teorem Vieta

Jika ialah penyelesaian persamaan itu

Teorem converse Viet-et

Jika dua nombor wujud, maka ia adalah penyelesaian kepada persamaan , (wujud apabila)

E. Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Contoh 1: Selesaikan persamaan kuadratik berikut: x2 - 49x - 50 = 0

Panduan penyelesaian

Kaedah 1: Gunakan formula akar (a = 1; b = -49; c = -50)

Kerana ∆ > 0, persamaan mempunyai dua penyelesaian yang berbeza.

Kaedah 2: Pengiraan mental

Kerana a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Jadi persamaan mempunyai dua penyelesaian.

Kaedah 3:

Menurut teorem Viet kita mempunyai:

Jadi persamaan mempunyai dua penyelesaian:

Contoh 2: Selesaikan persamaan 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => persamaan (2) yang diberi mempunyai 2 penyelesaian yang berbeza.

dan

Anda juga boleh mengira penyelesaian dengan cepat dengan mengira secara mental, kerana anda melihat bahawa 4-(-2)+6=0, jadi x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Penyelesaiannya adalah sama seperti di atas.

Contoh 3: Selesaikan persamaan 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Kira Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) mempunyai 2 penyelesaian yang berbeza:

dan

Untuk menyemak sama ada anda telah mengira penyelesaian dengan betul adalah sangat mudah, cuma gantikan x1, x2 ke dalam persamaan 3 secara bergilir-gilir, jika hasilnya 0 maka ia betul. Sebagai contoh, gantikan x1, 2.32-7.3+3=0.

Contoh 4: Selesaikan persamaan 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Kira Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> persamaan (4) tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh 5: Selesaikan persamaan x2 – 4x +4 = 0 (5)

Kira Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => persamaan (5) mempunyai penyelesaian berganda:

Sebenarnya, jika anda cepat cerdik, anda juga boleh melihat bahawa ini adalah identiti yang tidak dapat dilupakan (ab)2 = a2 - 2ab + b2, jadi mudah untuk menulis semula (5) sebagai (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Polinomial pemfaktoran

Jika persamaan (1) mempunyai dua penyelesaian berbeza x1, x2, anda sentiasa boleh menulisnya dalam bentuk berikut: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Kembali kepada persamaan (2), selepas mencari 2 penyelesaian x1, x2 anda boleh menulisnya dalam bentuk: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Menyelesaikan persamaan kuadratik yang mengandungi parameter

1. Persamaan dengan penyelesaian

2. Persamaan tanpa penyelesaian

3. Persamaan mempunyai penyelesaian yang unik (penyelesaian berganda atau dua penyelesaian yang sama)

4. Persamaan mempunyai dua penyelesaian yang berbeza (berbeza).

5. Persamaan mempunyai dua penyelesaian dengan tanda yang sama.

6. Persamaan mempunyai dua penyelesaian dengan tanda yang bertentangan.

7. Persamaan mempunyai dua punca positif (dua punca lebih besar daripada 0)

8. Persamaan mempunyai dua punca negatif (dua punca kurang daripada 0)

9. Persamaan mempunyai dua penyelesaian yang bertentangan.

10. Dua penyelesaian songsang

Perkara yang perlu diingat:

Bersama-sama dengan persamaan kuadratik, terdapat juga teorem Viet dengan banyak aplikasi seperti mengira secara mental punca-punca persamaan kuadratik yang disebutkan di atas, mencari 2 nombor apabila mengetahui jumlah dan hasil darab, menentukan tanda-tanda punca, atau pemfaktoran. Ini adalah semua pengetahuan yang diperlukan yang akan dikaitkan dengan anda dalam proses pembelajaran algebra, atau dalam latihan menyelesaikan dan membincangkan persamaan kuadratik nanti, jadi anda perlu mengingatinya dengan teliti dan mempraktikkannya dengan lancar.

Jika anda berhasrat untuk belajar pengaturcaraan , anda juga perlu mempunyai pengetahuan asas matematik, malah pengetahuan matematik lanjutan, bergantung pada projek yang akan anda lakukan.