Apakah orthocenter itu? Tentukan pusat ortopusat dalam segi tiga

Pusat ortopusat segitiga ialah persilangan tiga altitud , bermakna persilangan garis dari setiap bucu segitiga ke sisi bertentangannya membentuk sudut tegak. Panjang ketinggian ialah jarak antara bahagian atas dan bawah.

Ortopusat segitiga

• Apakah orthocenter itu?
• Bagaimana untuk menentukan pusat ortopusat segitiga
• Sifat ortopusat segitiga
• Latihan untuk menentukan dan membuktikan pusat ortopusat segitiga

Apakah orthocenter itu?

Tiga ketinggian segitiga bertemu pada satu titik. Titik itu dipanggil orthocenter bagi segi tiga .

Khususnya: Dalam lukisan adalah ketinggian, pusat orthocenter bagi segi tiga.

Bagaimana untuk menentukan pusat ortopusat segitiga

Untuk menentukan pusat ortopusat segitiga, kita dapati persilangan dua ketinggian dalam segi tiga itu.

Nota:  a) Jika segi tiga ialah segi tiga akut, pusat ortopusat terletak di dalam segi tiga.

b) Jika segi tiga itu ialah segi tiga tegak pada maka pusat orthocenter bertepatan dengan titik .

c) Jika segitiga ialah segi tiga tumpul, maka pusat ortopusat terletak di luar segi tiga.

Sifat ortopusat segitiga

Sifat 1:  Dalam segi tiga sama, pusat, orthocenter, titik sama jarak dari tiga bucu segitiga, titik di dalam segi tiga dan jarak sama dari tiga sisi segitiga ialah empat titik bertepatan.

Sifat 2:  Pusat orthocenter memotong pembahagi dua sisi serenjang kepada dua bahagian yang sama panjang. Ini bermakna bahawa pusat orthocenter adalah jarak yang sama dari bucu segitiga.

Sifat 3:  Pusat ortopusat ialah pusat bulatan segitiga, bermakna jika kita melukis bulatan yang melalui tiga bucu segitiga, pusat ortopusat akan menjadi pusat bulatan itu.

Sifat 4:  Pusat orthocenter bagi segi tiga akut terletak di dalam segitiga, manakala orthocenter bagi segitiga tumpul terletak di luar segitiga.

Sifat 5:  Pusat ortopusat segi tiga tegak bertepatan dengan bucu sudut tegak segi tiga tegak itu.

Sifat 6:  Pusat ortopusat ialah satu-satunya titik dalam segitiga supaya jika kita melukis garisan dari pusat ortopusat ke bucu segi tiga, jumlah panjang garis tersebut adalah yang terkecil. Ini bermakna pusat orthocenter adalah paling hampir dengan bucu segitiga berbanding mana-mana titik lain.

Sifat 7: Pusat ortopusat juga merupakan pusat bulatan segi tiga, iaitu bulatan terbesar yang boleh dilukis melalui tiga bucu segitiga.

Latihan untuk menentukan dan membuktikan pusat ortopusat segitiga

Contohnya: Diberi bukan segi empat sama. Panggil pusat orthocenternya. Tunjukkan ketinggian segi tiga itu. Dari situ, nyatakan pusat ortopusat bagi segi tiga itu.

Panduan penyelesaian

Ilustrasi

Biarkan kaki bagi serenjang yang dilukis daripada ΔABC.

Pertimbangkan ΔHBC dengan:

jadi AD ialah ketinggian dari H ke BC.

pada F jadi BA ialah ketinggian dari B ke HC

di E jadi CA ialah ketinggian dari C ke HB.

bersilang di A jadi A ialah pusat ortopusat bagi ΔHCB.

Contohnya: Diberi segi tiga tepat dengan ketinggian . Biarkan titik tengah bagi menjadi , titik tengah ialah . Tentukan pusat ortopusat bagi segi tiga itu.

Panduan penyelesaian

Pertimbangkan sub-masalah jika segi tiga mempunyai dan AC sebagai titik tengah masing-masing kemudian dan .

Sesungguhnya, pada sinar bertentangan sinar mengambil titik sedemikian

Pertimbangkan segi tiga AMN dan segi tiga CPN.

(bertentangan)

, (dua sisi dan dua sudut sepadan)

Dua sudut berada dalam kedudukan silih berganti jadi

=>(dua sudut dalaman berselang seli)

Pertimbangkan segi tiga BMC dan segitiga PCM.

(cmt)

MC adalah kelebihan biasa

, (sisi dan sudut yang sepadan)

Dua sudut berada dalam kedudukan silih berganti jadi

Kami ada lagi

Pertimbangkan segi tiga HAB dengan:

(seperti yang dibuktikan di atas)

Pertimbangkan segi tiga ADE.

sebaliknya dan

ialah ketinggian segi tiga ADE

C ialah persilangan AC dan DC

=> C ialah pusat ortopusat bagi segi tiga ADE

Contohnya: Diberi skala pada A, ketinggian bersilang dengan median pada . Buktikan dan kira?

Mengarahkan

Ilustrasi

Kerana baki pada A dan AM ialah median

⇒ AM juga ialah ketinggian yang sepadan dengan BC

di M.

Sebaliknya, dan K ialah pusat orthocenter.

Oleh itu, K tergolong dalam altitud dari C ∆ABC.

Kami ada: